Wahrscheinlichkeitsplot

Beschreibung

Wahrscheinlichkeitsplots sind einfache grafische Verfahren für die Prüfung auf Normalverteilung. In ein Koordinatensystem trägt man die gemessenen Werte auf der y-Achse ein und vergleicht sie mit der theoretischen Verteilung, dargestellt als Quantil der Normalverteilung auf der x-Achse. Entspricht die untersuchte Verteilung einer Normalverteilung, dann liegen die Punkte auf einer Geraden. Wahrscheinlichkeitsplots dienen der grafischen Prüfung, ob die empirische Verteilung einer stetigen Zufallsvariable einer angenommenen Testverteilung (z. B. Normalverteilung) entspricht. Zu den Wahrscheinlichkeitsplots gehören der P-P-Plot und der Q-Q-Plot.[1] 

P-P-Plot (Probability-Probability-Plot)

  • Erläuterung

Bei dieser Methode werden die Verteilungsfunktionen direkt verwendet. Es werden also die Punktepaare (uk,Fz ((X(k:n)-µ ̂)/σ ̂ )) für k=1, …. , n aufgetragen, wobei μ ̂ und σ ̂ geeignete Schätzer für μ und σ sind. Theoretisch besitzt die Zufallsvariable Y=Fz ((X-μ)/σ) bei Stetigkeit von Fz nämlich eine Gleichverteilung über dem Intervall[0,1], so dass mit dieser Methode Abweichungen von der bei Korrektheit des Verteilungsmodells resultierenden Gleichverteilung festgestellt werden können. Da sowohl die Verteilungsfunktion von Y wie die der stetigen Gleichverteilung bei Null mit Wert Null beginnt und bei 1 mit Wert 1 endet, sind Abweichungen von der Modellannahme im Wesentlichen in der "Mitte" des P-P-Plots feststellbar. Diese Methode ist jedoch nicht dazu geeignet, die Parameter μ und σ graphisch zu bestimmen. Vielmehr müssen diese vorher durch alternative statistische Schätzverfahren bestimmt werden.[2] 

  • Darstellung

In Probability-Probability-Plots (P-P-Plots) wird die beobachtete (empirische) Verteilungsfunktion gegen die theoretische Verteilungsfunktion geplottet. Hier werden die Werte der entsprechenden Variable zunächst in aufsteigender Ordnung sortiert. Die i-te Beobachtung wird dann auf der einen Achse als i/n (d. h. die beobachtete Verteilungsfunktion), auf der anderen Achse als F(x(i)) abgetragen, wobei F(x(i)) für die theoretische Verteilungsfunktion an der Stelle dieser Beobachtung x(i) steht. Falls die theoretische Verteilung die beobachtete Verteilung gut widerspiegelt, sollten alle Punkte in diesem Plot auf den Diagonalen liegen.[3] 

  • Anwendungsbeispiele

Probability-Plots sind ein leicht verständliches und sehr leistungsfähiges Werkzeug. Um es weiter zu verbessern, wurden eine Reihe von Varianten, Anwendungen und Verallgemeinerungen
vorgeschlagen:

  • Detrended Normal-Probability-Plots
  • Half-Normal-Probability-Plots
  • Perzentil-Plots
  • Stabilisierte Probability-Plots (SP-Plots)

Q-Q-Plot (Quantile-Quantile-Plot)

Die Beobachtungswerte eines Merkmals werden der Größe nach geordnet. Als Vergleich dienen die Quantile der theoretischen Verteilung, die dem entsprechenden Verteilungswert zugehören. Wenn die Merkmalswerte aus der Vergleichsverteilung stammen, stimmen die empirischen und die theoretischen Quantile annähernd überein, d. h. die Werte liegen auf einer Diagonalen. Der Quantile-Quantile-Plot kann einen Verteilungstest jedoch nicht ersetzen. Zu jeder der n Beobachtungen xi wird ein empirischer Unterschreitungsanteil pi=Fempirisch(xi) bestimmt. Mit Hilfe der inversen Verteilungsfunktion (Quantilsfunktion) der theoretischen Verteilung wird das Quantil y(i)=F -1theoretisch (pi) berechnet. Geplottet wird nun xi versus yi.[4] 
Gegenüber anderen Darstellungsweisen bieten Q-Plots deutliche Vorteile:

  • Es ist keine Gruppierung der Daten erforderlich.
  • Jede einzelne Beobachtung wird durch ein Plotsymbol wiedergegeben: Q-Plots sind Darstellungen der Daten, keine Zusammenfassungen.
  • Extremwerte sind leicht erkennbar.
  • Kenngrößen wie Median und Quartilsabstand sind direkt ablesbar.
  • Lokale Dichten sind im Q-Plot als stärkere Steigungen erkennbar: Identische Werte bilden

senkrechte Bereiche im Plot.

 

Quellennachweise

1.  http://mars.wiwi.hu-berlin.de/mediawiki/statwiki/index.php/Wahrscheinlichkeitsplot Stand:(01.06.2012) [↑]

2.  P-P Plot http://www.staff.uni-oldenburg.de/dietmar.pfeifer/Graph.pdf Stand: (01.06.2012) [↑]

3.  http://mars.wiwi.hu-berlin.de/mediawiki/statwiki/index.php/P-P_Plot Stand: (01.06.2012) [↑]

4.  http://de.wikipedia.org/wiki/Quantile-Quantile-Plothttp://de.wikipedia.org/wiki/Quantile-Quantile-Plot Stand: (01.06.2012) [↑]