Faktorielle Versuche

Die statistische Versuchsplanung (Design of Experiment, DoE) ist eine Methodik zur Planung und statistischen Auswertung von Versuchen. Dieses Verfahren ist universell einsetzbar und eignet sich sowohl zur Produkt- als auch zur Prozessoptimierung.Es wird insbesondere dann eingesetzt, wenn viele Einflussgrößen zu berücksichtigen sind.
Ziel der Durchführung der Versuche ist die Steigerung der Qualität, die Reduzierung von Kosten bzw. der Entwicklungszeit. Die Versuchsplanung dient der strukturierten Analyse der Problemstellungen, der übersichtlichen Ergebnisanalyse und der Einsparung an Versuchen bei gleicher Informationstiefe. Versuchsplanung ist eine Sammlung von Ideen und Verfahren zur systematischen Verbesserung. Ziel der faktoriellen Versuchsplanung ist es, bei geringerem Versuchsaufwand ein hohes Maß an Informationsgehalt über Haupt- und Wechselwirkungen mehrerer Einflussgrößen zu erhalten. Die Durchführung der Versuche soll sowohl mit qualitativen als auch quantitativen Faktoren gemacht werden.

Zielgrößen

Zielgrößen beschreiben das Ergebnis eines Versuchs. Sie können Messwerte sein, aber auch Größen, die aus einem oder mehreren Messwerten errechnet werden. Bei einem Versuch können mehrere Zielgrößen bestimmt werden.
Werden die unabhängigen Variablen auf nominalem Skalenniveau gemessen und die abhängigen Variablen auf metrischem Skalenniveau, so findet die Varianzanalyse Anwendung. Dieses Verfahren besitzt besondere Bedeutung für die Analyse von Experimenten, wobei die nominalen unabhängigen Variablen die experimentellen Einwirkungen repräsentieren.

Einflussgrößen

Einflussgrößen sind Größen, die die Versuchsergebnisse (Zielgrößen) möglicherweise beeinflussen können. Sie können auch kategorisch sein, z.B.“ Objekt A“ oder“ Objekt B“.

Steuergrößen

Steuergrößen sind Einflussgrößen, deren Wert für das Produkt bzw. den Fertigungsprozess auf einen bestimmten Wert eingestellt und dort (in gewissen Grenzen) gehalten werden kann (Konstruktions- bzw. Prozessparameter).

Störgrößen

Störgrößen sind Einflussgrößen, deren Wert für das Produkt bzw. den Fertigungsprozess nicht vorgegeben werden kann (oder z.B. aus Kostengründen nicht vorgegeben werden soll).

Faktoren

Aus der Vielzahl der Einflussgrößen werden für den Versuch die vermuteten wesentlichen Einflussgrößen ausgewählt. Diese für den Versuch ausgewählten Einflussgrößen heißen Faktoren, diese Faktoren werden eingestuft, je nach den Werten, die in dem Versuch angenommen werden sollen. Bei der Wahl der Stufenwerte ist zu beachten, dass bei späterer Versuchsdurchführung die technische Realisierbarkeit und somit kontinuierliche Versuchsreihenfolge der verschiedenen Parametereinstellungen gewährleistet ist.

Wirkungen

Hauptwirkung

Von Haupteffekt spricht man, wenn der Einfluss eines Faktors auf ein zu untersuchendes Merkmal bestimmt werden soll.

Wechselwirkung

Ein Wechselwirkungseffekt ist dann vorhanden, wenn der Einfluss eines Faktors von der Einstellung eines oder mehrerer anderer Faktoren abhängt. Die Bezeichnung der Wechselwirkungen wird durch die Anzahl der betroffenen Faktoren bestimmt. Es wird zwischen 2-Faktor-Wechselwirkung, 3-Faktor-Wechselwirkung bis n-Faktor-Wechselwirkung unterschieden.[1] 

Prozessmodell

Es gibt verschiedene Arten von Versuchsplänen:
Klassische Versuchsplanung

  • Einfaktorielle Versuchspläne
  • Vollfaktorielle Versuchspläne
  • Teilfaktorielle Versuchspläne
    • Plackett-Burmann-Versuchspläne

Moderne Verfahren

  • Verfahren nach Taguchi
  • Verfahren nach Shainin

Einfaktorielle Versuchspläne

Die Einfaktormethode beschreibt ein experimentelles Vorgehen, das man möglicherweise auch intuitiv wählen würde. Nach der Ausführung einem ersten Versuch mit den Stufen des Standards, wird dann in je einem Versuch die Stufe einer Einflussgröße variiert, während alle anderen Einflussgrößen auf der Stufe des Standards stehen. Die untere Tabelle beschreibt einen einfaktorielle Versuchsplan für drei Einflussgrößen.


Einfaktorieller Versuchsplan [2] 

Vollfaktorielle Versuchspläne

Ein vollfaktorieller Versuchsplan entsteht, wenn alle möglichen Einstellungen der Faktoren auf je 2 Stufen kombiniert werden, wobei k die Anzahl der Faktoren und die Basis 2 die Anzahl der Stufen dargestellt.2^k. In diesem Versuch ist jede Stufe eines Faktors mit jeder Stufe aller anderen Faktoren einmal kombiniert.
Bei 3 Faktoren ergeben sich also 8 Versuche, und die Bezeichnung der einzelnen Faktoren im Versuchsplan erfolgt durch Großbuchstaben.
Allgemein erstellt man einen vollfaktoriellen Plan (normiert –1 und +1) auf folgende Weise: Beginnend in der ersten Spalte wird alternierend (-1, +1,-1 usw.) geschrieben. In der nächsten Spalte schreibt man mit doppelter Häufigkeit alternierend (-1,-1, 1, 1,-1,-1 usw.). In der dritten Spalte wiederum mit doppelter Häufigkeit, wie in der Vorhergehenden, bis alle Faktoren belegt sind.[3] 


Vollfaktorieller Versuchsplan [4] 

Bei der Berechnung des Versuchsumfangs ist deutlich zu erkennen, dass bei einer
Erhöhung der Anzahl der Faktoren, der Versuchsaufwand enorm ansteigt.

Teilfaktorielle Versuchspläne

Zur Analyse der Problemstellungen mit einer größeren Faktoranzahl, ist es notwendig
den Versuchsaufwand zu reduzieren. Man kann häufig davon ausgehen, dass Wechselwirkungen zwischen mehr als zwei Faktoren vernachlässigbar sind. Die Annahme solcher Voraussetzungen ermöglicht die Reduzierung des Versuchsumfangs.
Die Anzahl der Versuche berechnet sich durch: 2(k-p), wobei die Bezeichnung 2 bedeutet, dass von 2 Teilversuchen eines vollständigen faktoriellen Versuchs nur der 1/2-te Teil durchgeführt und analysiert wird. Der Buchstabe k steht auch hier für die Anzahl der Faktoren und p für die Anzahl der Wechselwirkungen, die vernachlässigt wurden.

Man bildet diesen Versuchsplan zunächst wie den vollfaktoriellen, jedoch mit einem Faktor weniger. Die Einstellungen des fehlenden Faktors werden durch das Produkt aller anderen Faktoren gebildet. Für p=4 ergibt sich somit n=8, gegenüber n=16 für den vollfaktoriellen Versuch. Ein 2(4-1) Versuchsplan sieht entsprechend wie oben dargestellt aus. Die Spalte D ergibt sich durch die Multiplikation von A*B*C [5] 

 ABCD
1-1-1-1-1
21-1-1-1
3-11-11
4-1-111
5-1-11-1
61-11-1
7-111-1
8111-1

Beispiel Teilfaktorieller Versuchsplan [6] 

Die Alternative zu den klassischen teilfaktoriellen Versuchsplänen ist oft der Plackett-Burman-Versuchsplan. Hier sind die Vermengungen nicht 100%, sondern nur zu einem geringeren Teil.

Plackett-Burman-Versuchspläne

Diese Versuchspläne sind von den teilfaktoriellen 2(p-q) abgeleitet und lassen sich in Stufen von 4 Versuchen konstruieren. Mit Hilfe von 12 Versuchen können 11 Effekte bestimmt werden.
Im Gegensatz zum klassischen teilfaktoriellen Versuchsplan haben Plackett-Burman-Versuchspläne den Vorteil, dass bestimmte 2-fach-Wechselwirkungen untereinander und mit Faktoren nicht vollständig, sondern nur teilweise vermengt sind. Für Pläne mit 12 Versuchen und Verwendung von 1 bis zu 11 Spalten ergibt sich eine maximale Korrelation von 0,333 für 2-fach- Wechselwirkungen untereinander und mit Faktoren. Bei Plänen mit 20 Versuchen und Verwendung von bis zu 19 Spalten kommt eine maximale Korrelation von 0,6 vor. Bei hohen Streuungen ist unter Umständen diese Korrelation zu hoch für Auswertungen von Wechselwirkungen. Außerdem ist eine zusätzliche Sicherheit gegen Korrelationen, bei der Auswertung mit dem Plackett-Burman-Versuchsplan gegeben,weiterhin auch noch,wenn die Wechselwirkungen relevant sind. Faktoren untereinander sind in orthogonaler Versuchsanordnung nicht miteinander vermengt.[7] 
Die Erstellung der Plackett-Burman-Versuchspläne ist wie folgt zu verstehen: Für jeweils eine Kombinationsreihenfolge verwendet, die Spalte für Spalte um eine Zeile nach unten zu versetzen, diese Vorgang wird sich wiederholen. Nach dem zyklischen Aneinanderfügen der Spalten werden die Überhänge über die Zeile n-1 oben wieder angefügt. Die letzte fehlende Zeile wird mit durchgehend -1 besetzt.

n=12++-+++---+- 
n=20++--++++-+-+----++-
n=24+++++-+-++--++--+-+----

Plackett-Burman-Versuchsplan

Taguchi Versuchspläne

Taguchi Versuchspläne sind teilfaktorielle Versuchspläne, die meist gesättigt sind und extrem wenige Versuche brauchen. Sie sind voll orthogonal und werden mit dem Buchstaben L gekennzeichnet.
Lx (SP)

Ein teilfaktorieller Versuchsplan mit 7 Faktoren wird mit der folgenden Formel berechnet:
L8 (27)=2(7-4)

Wobei x die Anzahl der Versuche ist, S die Anzahl der Stufe und P die Anzahl der Parameter.
Für 7 Faktoren werden hier nur 8 Versuche angesetzt, hier sind nur nur die Effekte der Faktoren selbst und der Konstante bestimmbar. Neben der Vermengung von verschiedenen Wechselwirkungen, besteht auch ein Problem durch die Vermengung von Faktoren mit Wechselwirkungen.Auf diese Grund werden diese Pläne nur empfohlen, wenn Wechselwirkungen auszuschließen sind.
Einige Beispiele sind in den unteren Tabellen dargestellt.[8] 

 ABCD
11111
22222
31333
42123
52231
62312
73132
83213
93321
   für L9(34)           
 ABC
1112
2121
3211
4222
 für L4(23)

Versuchsplanung nach Taguchi

Anstelle der Normierung -1 bzw.+ 1 werden die Einstellungen durchnummeriert. Zur Darstellung nichtlinearer Zusammenhänge gibt es Taguchi Versuchspläne mit 3 und 4 Stufen. Dabei sind Faktoren und Wechselwirkungen auch nicht mehr zu 100% vermengt, jedoch ist die Auswertung für Wechselwirkungen und quadratische Terme kritisch. Zur Erkennung der wichtigsten Faktoren bzw Screening werden Taguchi Versuchspläne verwendet.Der folgende Tabelle gibt die wichtigsten Varianten der Taguchi Versuchpläne an.


wichtige Screening nach Taguchi [9] 

Verfahren nach Schainin

Die von Dorian Shainin entwickelten Methoden zur Planung und Durchführung von Versuchen zeichnen sich durch ihre Einfachheit aus. Allerdings sind sie nur bei speziellen Fragestellungen anwendbar.
Shainin setzt auf das Erkennen und Beseitigen der meist wenigen dominanten Störgrößen.
Das Beseitigen von Störgrößen ist mit Kosten verbunden, trotzdem kann diese Vorgehensweise sinnvoll sein.
Im Gegensatz zur Taguchi-Methode geht Shainin in mehreren aufeinander abgestuften Schritten vor, bei denen er die wichtigen Einflussgrößen Schritt für Schritt eingrenzt.
Randbedingung dabei ist das Pareto-Prinzip. Damit wird vorausgesetzt, dass unter vielen Einflussgrößen nur wenige einen dominanten Einfluss haben. Das Prinzip hat keine Allgemeingültigkeit, doch stellt in vielen Fällen eine sinnvolle Arbeitshypothese dar.
Vorgehensweise:

  • Ermittlung der wesentlichen Ursachen für Abweichungen und Variationen der Qualitätsmerkmale
  • Konzentration auf die wichtigsten Steuergrößen bei der Bestimmung der optimalen Werte

für die Produkt- und Prozessparameter[10] 

Anwendungen der Faktoriellen Versuchsplanung

  • Die Optimierung der Genauigkeit in der Montage
  • Die Optimierung in der Fertigung
  • Die Optimierung von Produkten

[11] 

Anwendung der Faktoriellen Versuchsplanung mit Software

Anwendung in Visual x-Sel 11.0

Anwendung in Minitab

Anwendung in Statistica

Vorteile und Nachteile der Versuchsplanung

Vor- und Nachteile der Einfaktoriellen Versuchspläne

Vorteile:

  • Produzierbare Vorgehensweise
  • Einfache Handhabung

Nachteile:

  • Hohe Anzahl von Versuchen, dadurch sind Wechselwirkungen nicht erkennbar
  • die Störeinflüsse sind schwer kontrollierbar

Vor- und Nachteile der vollfaktoriellen Versuchspläne

Ein Vorteil ist, die Möglichkeit, dass sich alle Wechselwirkungen erklären lassen. Dadurch ist der Einfluss von A*B*C ebenso enthaltbar. Die Anzahl der Versuche nimmt mit der Anzahl der Faktoren jedoch schnell sehr stark zu, so dass ab ca. 5 Faktoren der Versuchsplan in der Praxis zu aufwändig wird. Es stellt sich die Frage, wie man ihn vereinfachen kann. Die höchste Wechselwirkung hat in den meisten Fällen einen nur untergeordneten Einfluss, dies kann signifikanten Einfluss auf Qualitätsmerkmale haben oder nicht. Außerdem eignet sich diese Methode gut für sequenzielle Studien, und kann Ausgangspunkt für komplexere Designs sein.

Der Nachteil ist die Entstehung von großem Aufwand bei einer Anzahl der Parameter von größer 4.

Vor- und Nachteile teilfaktorieller Versuchspläne

Vorteil ist die hohe Faktorenzahl mit wenigen Versuchsläufen.

Der Nachteil dieser Methode ist, dass die Haupteffekte mit Wechselwirkungen vermengt sind.

Vor- und Nachteile der Plackett-Burman-Versuchspläne

Einige Vorteile der Plackett-Burman-Versuchspläne könnten die geringeren Versuchsdurchläufe in der orthogonalen Versuchsanordnung sein, die Vermengungen von nur bis zu 33% der Wechselwirkungen, für die Variante mit 12 Versuchen. Die Plackett-Burman-Versuchspläne sind für „Screening“, zum Darstellen der wichtigsten Einflüsse auf 2 Stufen geeignet.
Der Nachteil der Plackett-Burman-Versuchspläne ist, dass sie nur in Blöcken von 12, 20 oder 24 Versuchen verfügbar sind.

Vor- und Nachteile Taguchi Versuchspläne

Mit Hilfe der Taguchi Versuchspläne wird eine orthogonale Versuchsanordnung mit extrem wenigen Versuchsdurchläufen gesättigt. Es ist ein Verbesserungsmodell der teilfaktoriellen Versuchspläne, weil die Versuchspläne dadurch in bis zu 5 Stufen verfügbar sind. Genauso wie bei den klassischen teilfaktoriellen Plänen sind sie für „Screening“, zum Darstellen der wichtigsten Einflüsse geeignet.
Ein Nachteil der Taguchi Versuchspläne könnte die Vermengung der Wechselwirkungen sein, was bedeutet, dass diese ausnahmsweise nur bei eingeschränkter Auswertung für teilweise 3- und 4-stufige Versuchspläne gewertet werden können.

 

Quellennachweise

1.  Wilhelm, Kleppmann: Taschenbuch Versuchsplanung: Produkte und Prozesse optimieren. 5. Überarbeitete Auflage, 2008. Carl Hanser Verlag München, Wien. S. 11 [↑]

2.  http://www.imtek.de/content/pdf/public/2002/sfb570-2002.pdf [↑]

3.  http://www.versuchsmethoden.de/Versuchsplaene.htm [↑]

4.  http://www.crgraph.de/Vollfaktoriell.pdf [↑]

5.  http://www.versuchsmethoden.de/Versuchsplaene.htm [↑]

6.  http://www.crgraph.de/Teilfaktoriell.pdf [↑]

7.  http://www.versuchsmethodik.de/plaene/placket.htm [↑]

8.  http://www.crgraph.de/Taguchi.pdf [↑]

9.  http://www.crgraph.de/Taguchi.pdf [↑]

10.  http://www-classic.uni-graz.at/inmwww/vorbach/qm-referate/versuchsmethodik-taguchi-und-shainin.pdf [↑]

11.  https://www.ikt.rwth-aachen.de/fileadmin/downloads/KL_II/V01_-_TRIZ_DoE.pdf [↑]