Statistische Grundlagen

Im Six-Sigma-Konzept wird angestrebt, die Bedürfnisse und Wünsche eines Kunden vollständig, profitabel und fehlerfrei zu erfüllen. Kritische Prozesse, die diese Anforderungen nicht erfüllen, müssen vom Unternehmen erkannt und verbessert werden. Hierzu werden die Prozesse des Unternehmens ständig mit Hilfe statistischer Methoden gemessen und analysiert. Für Six Sigma ist daher ein fundiertes Verständnis der Statistik notwendig. Im Folgenden werden dazu die wichtigsten statistischen Grundbegriffe des Six Sigma Ansatzes kurz vorgestellt.

Mittelwert und Variation

Mit dem arithmetischen Mittelwert wird beschrieben, wie nahe ein Prozess im Durchschnitt den an ihn gestellten Anforderungen (Sollwert) kommt. Dies ist als Qualitätskriterium jedoch wenig aussagekräftig. Wesentlich für die Güte eines Prozesses ist vielmehr, wie zahlreich und wie hoch die Abweichungen vom Mittelwert sind.

Ein Beispiel: "Die durchschnittliche Fahrzeit von Frankfurt nach München beträgt 320 Minuten." Dieser Wert sagt alleine nichts über die Güte eines Transportprozesses, da sich dabei zu hohe und zu niedrige Werte gegenseitig ausgleichen. Wenn es darauf ankommt, genau in 320 Minuten anzukommen, können sowohl eine schnellere Fahrtzeit als auch eine langsamere Fahrtzeit zu Problemen führen und sind daher beide fehlerhaft. Ziel ist nicht eine möglichst geringe Fahrtzeit sondern eine verlässliche Ankunftszeit mit einer möglichst geringen Schwankungen, d.h. die Verringerung der Variation der Ankunftszeit.

Die Variation (Streuung, Varianz) beschreibt die Abweichung einer Variablen von ihrem Mittelwert. Besteht ein Prozess aus mehreren Teilprozessen kann bereits eine Qualitätsabweichung bei einem einzelnen Teilprozess zum Ausfall des Gesamtsystems führen. Die Gesamtvariation eines Prozesses ist daher eine Zusammenfassung der Einzelvariationen aller qualitätskritischen Merkmale des Prozesses und seiner Teilprozesse (Abb. 1).


Abhängigkeit des Prozess-Output von zahlreichen Einflussfaktoren [1] 

Es gibt zwei Arten von Variationen:

  1. Variationen mit üblichen (erwarteten, normalen und vorhersehbaren) Gründen sowie
  2. Variationen mit speziellen (also unerwarteten und nicht normalen) Gründen.

Die vorhersehbaren Variationen verursachen eine eher geringe Störung gegenüber den unerwarteten Variationen, die dafür aber seltener beeinflusst werden können.

Verteilungen

Eine Verteilung bzw. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet den Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zu. Hierdurch kann aus der Messung weniger Stichprobenwerte die Wahrscheinlichkeit des Auftretens aller Ereignisse bestimmt werden. Die am meisten verbreitete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Gauß’sche Glockenkurve (Normalverteilung).

Als Beispiel nehmen wir die Produktion eines Brettes an: In einem Teilprozess schneidet eine automatische Bandsäge am Tag 2000 Bretter zu. Bei einer Stichprobe von 100 Brettern wurde ein Mittelwert von 1000 mm ermittelt. Die Maschine arbeitet nicht 100% genau und deshalb variieren die Bretter mit einer Standardabweichung von +/- 2 mm, d.h. die Bretter sind zwischen 998 mm und 1002 mm lang. Wenn wir der Bretterproduktion nun eine Normalverteilung unterstellen, können wir auch auf die restliche Verteilung der Bretter schließen. Der Kunde toleriert Bretter von 996 mm bis 1004 mm. Somit erhalten wir einen Wert von 2 Sigma, da die Standardabweichung +/- 2 mm genau zweimal zwischen den Mittelwert und die Toleranzgrenzen passt.

Das folgende Bild zeigt eine eher steilere und eine eher flachere Glockenkurve. Bei der steileren Kurve liegen mehr Ereignisse in dem vom Kunden definierten Bereich als bei der flacheren Kurve. Um die Prozessleistung zu beurteilen, muss berechnet werden, wie viele Standardabweichungen zwischen den Mittelwert und den Zielwert passen. Ein Prozess hat Six Sigma erreicht, wenn genau sechs Standardabweichung zwischen Mittelwert und Grenzwert passen.
Wenn also eine Variation kontrolliert oder beseitigt wird, steigt der Sigma Wert und der Fehleranteil sinkt.


Verteilung [2] 

1,5-σ-Verschiebung

Bei der Berechnung des erwarteten Fehleranteils ist zu berücksichtigen, dass der Mittelwert über längere Zeiträume nicht konstant bleibt sondern durch Einflüsse wie Materialermüdung, Verschleiß, veränderte Umgebungsbedingungen oder unterschiedliche Bediener an den Maschinen zusätzliche Mittelwertverschiebungen auftreten. Man kann daher nicht davon auszugehen, dass der Abstand zwischen dem Mittelwert und der kritischen Toleranzgrenze immer genau 6 Standardabweichungen beträgt.

Üblicherweise liegt die Mittelwertverschiebung im Bereich zwischen 1,4σ und 1,8σ. In der Praxis wird vereinfacht mit einer Verschiebung von 1,5σ gerechnet.
Dadurch ergibt sich eine Verschiebung des Mittelwertes μ nach rechts und links und somit eine erweiterte Fläche unter der Verteilungsfunktion. Somit verbirgt sich hinter 6 Sigma eigentlich nur ein 4,5 Sigma Niveau. [3] 


Six Sigma Prozessgrenze [4] 

Wenn ein Prozess den Wert Six Sigma erreicht hat, weist er aufgrund der Mittelwertverschiebung nur einen Abstand von 4,5 Standardabweichungen vom Mittelwert zur nächstgelegenen Toleranzgrenze auf. Dies entspricht bei einer Normalverteilung einer Wahrscheinlichkeit von 99.99966 %, dass der Prozess fehlerfrei ist. Das heißt: Bei einer Million gelieferter Teile dürfen auf Six-Sigma-Niveau höchstens 3,4 Einheiten fehlerhaft sein.

Die Erreichung einer so geringen Fehlerhäufigkeit ist mit einem hohen Aufwand verbunden, so dass sie nicht immer wirtschaftlich sinnvoll ist. Allerdings sind die Anforderungen bei sicherheitskritischen Prozessen, wie im Luftverkehr oder der Stromversorgung noch höher. Der Frankfurter Flughafen hat jährlich etwa 500.000 Starts und Landungen. Wenn die Start-und Landeprozesse „nur“ Six-Sigma-Niveau hätten, würden jährlich 1 bis 2 Flugzeuge abstürzen.
 

Quellennachweise

1.  Helge Toutenburg/Phillip Knöfel: Six Sigma - Methoden und Statistik für die Praxis, Seite 16 [↑]

2.  Helge Toutenburg/Phillip Knöfel: Six Sigma - Methoden und Statistik für die Praxis, Seite 19 [↑]

3.  Roland Jochem,Dennis Geers,Michael Giebel : Six Sigma leicht gemacht, Seite 29 - 30 [↑]

4.  Magnusson, Kroslid, Bergman: Six Sigma umsetzen, (2003), S. 7 [↑]